sábado, 24 de septiembre de 2016

Euler, el matemático más prolifico

Leonhard Euler (1707-1783) puede considerarse como el matemático más prolífico, un trabajador incansable, que impulsó enormemente las matemáticas.

El siguiente podcast nos narra su vida.



Se realizó un concurso para ver qué fórmula matemática era la más bella y ganó la famosa fórmula de Euler que relaciona los números: \(e\), \(\pi\), \(i\).





Otro podcast: http://www.buhardillapodcast.com/la-buhardilla-2-0-pograma-68-euler-y-el-numero-e

Capitalización continua y número e

El número e podemos ver que surge aplicando capitalización compuesta y aumentando la frecuencia del periodo de  cálculo de intereses hasta llegar a la denominada capitalización continua. Veamos cómo es el proceso.

Supongamos que usted dispone de 1 € que puede capitalizar en un banco a un tipo de interés del 100% anual en capitalización compuesta. Trabajar a un tipo de interés del 100% supone que al final del año ha doblado su dinero y tendrá 2 €.


Si hubiera capitalizado su euro inicial durante medio año, al 50% hubiera obtenido un capital al final del año de 2,25 €. Esto es, con una frecuencia de capitalización 2 su capital final o montante \(M\) aumenta.
\[ M=(1+(j_m/m))^m=(1+(1/2))^2=2,25 \]


Animado con la ganancia obtenida decide ver que sucede si capitaliza su euro inicial trimestralmente al 25% trimestral. Realizando los cálculos observa que su capital final ha vuelto a crecer.
\[ M=(1+(j_m/m))^m=(1+(1/4))^4=2,44140625 \]


Decide estudiar cómo crece el montante final obtenido al final del año a medida que aumenta la frecuencia de capitalización y observa que el capital final crece pero no de forma indefinida ya que existe un límite. Precisamente el montante tiende al famoso número e.

Puede consultar en el siguiente enlace el fichero utilizado.




Para comprobarlo puede calcular el número e simplemente pidiéndole a cualquier calculadora científica que calcule la exponencial de 1.

Si quiere profundizar un poco sobre este tema y ver cómo se realiza el límite puede consultar la siguiente entrada y ver el documento PDF siguiente.

viernes, 23 de septiembre de 2016

¿Qué es el cálculo?

Existe un vídeo que nos explica qué es el cálculo y pone en contexto esta parte importantísima de la matemática.


Son famosas las disputas entre Newton y Leibniz. En aquella época (siglo XVII) se escribian cartas donde rivalizaban por la autoría de los primeros descubrimientos del cálculo diferencial. Al final triunfó la notación matemática que introdujo Leibniz ya que era mucho más sencilla e inteligible. Newton fue el primero en desarrollas estas ideas, aunque tardó mucho en publicarlas. Newton escribía intencionadamente utilizando una notación muy compleja, ya que pensaba que sus escritos debían entenderlos únicamente los que fueran capaces de desentrañar sus conceptos.

Podemos escuchar un podcast que trata la rivalidad entre Newton y Leibniz.



Un podcast sobre Newton.

Un podcast sobre Leibniz, el otro autor del cálculo infinitesimal.


lunes, 19 de septiembre de 2016

Octave: resolución de sistemas lineales

Vamos a resolver un sistema compatible determinado de la forma \(AX=b\) utilizando el método de Gauss, esto es, haciendo ceros. Para ello, emplearemos una función programada en Octave.

La función es la siguiente.

 function x = gauss(A,b)  
   % Sistema A*x=b resuelto por Gauss  
   n = length(b);  
   x = zeros(n,1);  
   for j = 1:n-1 % fase de eliminación  
     for i = j+1:n  
       if A(i,j) != 0  
         lambda = A(i,j)/A(j,j);  
         A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - lambda*A(j,j+1:n);  
         b(i)= b(i) - lambda*b(j);  
       end  
     end  
   end  
   for i = n:-1:1 %sustitución hacia atrás  
     x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);  
   end  
 end  

Vamos a usar como ejemplo las siguientes matrices \(A\) y \(b\).

A=[1 -3 0;4 -2 2;-1 -4 4]
b=[-5;6;3]
\[ \left ( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 0 \\ 4 & -2 & 2 \\ -1 & -4 & 4 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{r} -5 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right ) \]

Luego copiamos y pegamos en Octave la función anterior.
Finalmente ejecutamos la función, poniendo:
gauss(A,b)

Octave responde mostrando la solución del sistema que es:
\[x=1\] \[y=2\] \[z=3\]

Otro método

Determinemos el rango de la matriz \(A\).



Vamos a construir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones anterior. Llamémosla matriz \(G\).

G=[1 -3 0 -5;4 -2 2 6;-1 -4 4 3]

Para ver que se trata de un sistema compatible determinado con solución única vamos a calcular el rango de la matriz \(A\) y el rango de la ampliada que aquí hemos llamado matriz \(G\).


Vamos a efectuar una reducción por Gauss hasta llegar a una matriz triangular superior y triangular inferior, donde la última columna contenga la solución al sistema de ecuaciones.

La reducción gausiana se realiza con el comando siguiente.

  • rref(G)


Observamos que la última columna nos da la solución del sistema de ecuaciones:
\[x=1\] \[y=2\] \[z=3\]

sábado, 17 de septiembre de 2016

Octave: autovalores, autovectores y diagonalización

En Octave podemos calcular los autovalores y autovectores de una matriz A.

Tomemos la siguiente matriz A de orden 2x2.

A=[2 1;1 2]

Escribimos la expresión:

[P,D]=eig(A)

Donde D es la matriz diagonal. En la diagonal principal de la matriz D se encuentran los autovalores.


Donde P es la matriz de paso que contiene en columna los autovectores asociados a cada uno de los autovalores anteriores, respetando el orden. El primer vector columna de P se corresponde con el autovector asociado al primer autovalor que contiene la diagonal principal de la matriz D.


Vemos que la matriz diagonal D tiene en su diagonal principal los valores 1 y 3 que son los dos autovalores reales de la matriz A.

La matriz P tiene un primer autovector asociado al autovalor \(\lambda_1 = 1\) que es:
\[ \left( \begin{array}{r} -0.70711 \\ 0.70711 \end{array} \right) \] La matriz P tiene un segundo autovector asociado al autovalor \(\lambda_2 = 3\) que es:
\[ \left( \begin{array}{r} 0.70711 \\ 0.70711 \end{array} \right) \] Si calculamos los autovectores de forma manual obtendríamos que el autovector asociado a \(\lambda_1 = 1\) es: \[ \left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right) \] Y el autovector asociado a \(\lambda_2 = 3\) y calculado de forma manual resultaría: \[ \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) \] Entonces, ¿por qué Octave no nos proporciona los mismos autovectores que los que obtendríamos nosotros de forma manual?

La respuesta es que dado un autovalor existen infinitos autovectores asociados.
Para el autovalor  \(\lambda_2 = 3\)  veamos cómo obtenemos manualmente su autovector asociado.
\begin{equation*} \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) =3 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \Rightarrow x=y \end{equation*} Por tanto \begin{equation*} V(3)= \left\{t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) , t \in \mathbb R \right\} \end{equation*} Esto quiere decir que existen infinitos autovectores asociados a \(\lambda_2 = 3\), tantos como valores demos al parámetro \(t\). Por ejemplo, el vector (5 5) también es un autovector asociado a \(\lambda_2\).
Ante una infinita variedad de posibles autovectores asociados a un cierto autovalor, Octave elige uno de ellos que se forma usando la norma del vector.

En el siguiente enlace se puede ver qué es la normalización vectorial:



Para el autovalor \(\lambda_2 = 3\) Octave elige el siguiente autovector:
\[ \left( \begin{array}{r} \dfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 0.70711 \\ 0.70711 \end{array} \right) \] Por tanto, lo que hace Octave es normalizar el vector de forma que el autovector que nos proporciona es el vector normalizado.

Otro ejemplo

Dada la matriz A de orden 3x3:

A=[1 2 0;0 2 0;-2 -2 -1]

Podemos calcular manualmente sus autovalores y sus autovectores.
Los autovalores son:
  1. \(\lambda_1 = -1\)
  2. \(\lambda_2 = 1\)
  3. \(\lambda_3 = 3\)
La matriz diagonal D se forma colocando estos autovalores en su diagonal principal.
\[ D= \left( \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \]
La matriz de paso P se forma con los autovectores asociados a cada uno de los autovalores anteriores, respetando el orden.

  • El primer vector columna es el autovector asociado a \(\lambda_1 \)
  • El segundo vector columna es el autovector asociado al autovalor \(\lambda_2 \)
  • El tercer vector columna es el autovector asociado al autovalor \(\lambda_3 \)
\[ P= \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right) \]

Veamos el resultado con Octave.

[P,D]=eig(A)
Vemos que la matriz D es la misma que hemos obtenido a mano, y que la matriz P está formada por los mismos vectores que los que obtuvimos de forma manual pero normalizados.

Veamos el caso para \(\lambda_3 = 2\).
\[ \left( \begin{array}{r} \dfrac{2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} \\ \dfrac{-2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \dfrac{2}{\sqrt{9}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{9}} \\ \dfrac{-2}{\sqrt{9}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 2/3 \\ 1/3 \\ -2/3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 0.66667 \\ 0.33333 \\ -0.66667 \end{array} \right) \]

Matriz A elevada a la n-ésima potencia: An

Sabemos que si la matriz A es diagonalizable se puede expresar en función de las matrices D (diagonal) y P (matriz de paso).

\[ A=PDP^{-1} \]
Si elevamos la matriz A a la n-ésima potencia se puede expresar de la siguiente forma: \[ A^n=PD^nP^{-1} \]
 Con Octave podemos calcular, por ejemplo, A5.


También podemos calcular A5 directamente y así comprobamos resultados.


Octave: instalación y primeros pasos con matrices

Octave es una software libre para cálculos matemáticos, muy similar a MatLab.

Aquí tienes más información sobre Octave: Wikipedia.

Nosotros utilizaremos la versión que ha desarrollado la escuela de caminos de la Universidad Politéctica de Madrid (UPM). Este es el link para la descarga:


Si el enlace anterior no funciona puedes probar con el siguiente:

Versión online

Si no deseamos instalar Octave en nuestro ordenador disponemos de una versión online disponible en la siguiente dirección.

Escribir una matriz

Veamos cómo podemos escribir y operar con matrices en Octave.

Para escribir la matriz A de orden 3x3 podemos escribir por filas, separando cada fila por punto y coma y separando cada elemento por un espacio.

A=[1 -2 0;2 -5 -1;3 0 -3]

Octave responde mostrándonos la matriz A perfectamente ordenada por filas y columnas.


También se podrían separar los elementos de cada fila por comas y no por espacios.

Determinante de una matriz

Podemos calcular el determinante de la matriz A que es 9.

det(A)



Matriz de números aleatorios

Podemos crear la matriz Z de orden 4x4 creada por números aleatorios.

Z=rand(5,5)


Limpiar pantalla

clc


Calcular la inversa de una matriz

Calculemos la matriz inversa de A.

A^-1


Resolución de un sistema compatible determinado

Tomemos la matriz A anterior que tiene determinante distinto de cero y junto con el vector columna B siguiente montemos un sistema de ecuaciones con solución única.

El vector columna B es el siguiente.

B=[-3;-7;6]


Creamos el sistema matricial siguiente.

AX=B

Despejamos X.

X=A-1B


Si el vector X tiene por componentes \(x_1, x_2, x_3\) podemos afirmar que la solución del sistema es:
\[x_1=1\] \[x_2=2\] \[x_3=-1\]