Integración por partes

"Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme".

Comandos básicos en Octave

• A=rand(3,3) Genera una matriz de números aleatorios de 3×3. Los aleatorios son uniformes (0,1).
• f=linspace(100,109,10) Genera un vector fila de 10 números que comienza en 100 y finaliza en 109.
• c=transpose(f) Transpone c
• f*c multiplica ambos vectores
• fix(9.7) Calcula la parte entera ans=9
• A=fix(rand(3,3)*100) Genera una matriz 3×3 de números aleatorios enteros.
• det(A) Determinante
• eig(A) Proporciona los autovalores
• A=[3 1 1;1 3 1;1 1 3] Escritura de una matriz. También se pueden poner comas entre los elementos de una misma fila.
• eig(A) Proporciona los autovalores de una matriz.
• [P,D]=eig(A) Dada una matriz A nos proporciona su matriz diagonal D y su matriz de paso P. P se encuentra normalizada.
• A^2-P*D^2*P^-1 Proporciona una matriz de ceros. Permite comprobar que si A es diagonalizable se cumple la expresión \(A^n=PD^nP^{-1}\) Cuando se eleva a potencias grandes se comete un gran error y la matriz que da no es de ceros. Esto se soluciona usando notación simbólica al crear la matriz.
• A=sym([3 1 1;1 3 1;1 1 3]) Escritura de una matriz de forma simbólica.
• [P,D]=eig(A) Ahora, al tener la matriz A notación simbólica las matrices D y P que se proporcionan son más parecidas a las que obtendríamos haciendo los cálculos nosotros. P ya no se encuentra normalizada.
• A^100-P*D^100*P^-1 Proporciona una matriz de ceros. Si A no estuviera escrita en forma simbólica no daría una matriz de ceros, sino números muy grandes lo que indica que los errores se han acumulado.
• inv(A) Inversa de la matriz A
• A^-1 Inversa de la matriz A
• A' Es la transpuesta de la matriz A
• trace(A) Traza de A
• plot([2,3,5,4,6]) Gráfica de líneas 
  
• grid() Añade una rejilla 
  
• clc Limpia la pantalla
• clear Borra las variables
• x=linspace(-pi,pi,40); La variable x toma 40 valores entre -pi y +pi. Gracias al punto y coma final no se muestran en pantalla.
• plot(x,sin(x)) Realiza el gráfico de la función seno para los valores de x. 
  
• title('Funciones') Añade título al gráfico
• xlabel('Eje x') Añade la etiqueta al eje x
• ylabel('Eje y') Añade la etiqueta al eje y
• hold on Permite que no se borre el gráfico anterior y así poder superponer el siguiente.
• plot(x,cos(x),'r') Se añade 'r' para rojo, 'k' para negro, 'b' para azul y 'g' para verde.
• legend('Seno','Coseno') Pone una leyenda a cada gráfico 
  
• figure(3) Se le indica que ahora trabajaremos sobre la figura 3
• plot(x+pi/4,cos(x),'g','LineWidth',4) Añade otra función en verde y con mayor grosor de la línea. 
  
• hold off Deja de añadir gráficos.
• polar(x,cos(2*x),'o') Crea un nuevo gráfico en coordenadas polares. Los puntos se representan por una 'o'. También se puede probar a poner una 'x', 'p' para signo +, 'v' para triángulos, 's' para cuadrados, 'h' para estrellas, 'd' para rombos. 
  

Exámenes

Exámenes de matemáticas empresariales con solución. Son exámenes tipo test con 20 preguntas y 8 posibles respuestas.

• Ex.Mat.Emp.2015 ene. A.pdf
• Ex.Mat.Emp.2015 jun. A.pdf
• Ex.Mat.Emp.2015 jun. B.pdf
• Ex.Mat.Emp.2016 ene. A.pdf
• Ex.Mat.Emp.2016 ene. B.pdf
• Ex.Mat.Emp.2016 jun. A.pdf
• Ex.Mat.Emp.2017 ene. A.pdf
• Ex.Mat.Emp.2017 ene. B.pdf
• Ex.Mat.Emp.2017 jun. A.pdf

Integral doble de recinto rectangular

Vamos a resolver un caso de integral doble cuando el recinto de integración que nos proporcionan es un cuadrado o un rectángulo.

Veamos el enunciado del ejercicio.

Veamos la solución de la integración por dos métodos:

1. Método de franjas verticales
2. Método de franjas horizontales

Disponemos de un audio que nos explica cómo se ha resulto la integral por los dos métodos. Este es el audio:

• Archivo de audio

Signo de una forma cuadrática

Habitualmente estudiamos el carácter de una forma cuadrática por dos métodos:

• por autovalores
• por menores principales

Es muy frecuente usar el método de los menores principales por su sencillez, pero el inconveniente de este método es que no siempre decide.

Veamos unos ejemplos.

Rango de una matriz con Octave

El rango de una matriz \(A\) se determina con Octave con la siguiente expresión.

• rank(A)

Puedes comprobarlo con la matriz A:

A=[1 -1 -8 -2 2;0 1 3 2 2;1 4 7 8 12;1 2 1 4 8]

Un manual de Octave

He descubierto un interesante manual de Octave en español que se realizó como proyecto fin de carrera por José María Valiente Cifuentes en la Escuela Universitaria Politécnica de Teruel. Os dejo el enlace:

• http://softlibre.unizar.es/manuales/aplicaciones/octave/manual_octave.pdf

Octave: Raices de un polinomio

Vamos a crear la matriz \(A\) cuadrada de orden 3x3.
A=[3 2 -2;0 -2 0;-1 0 2]

Estudiamos la expresión \((A-\lambda I)x=0\) donde los valores de \(\lambda\) son los autovalores o valores propios de \(A\). Son los eigenvalues.

Construimos el polinomio característico.

p=poly(A)

El resultado es: 1 -3 -6 8 que son los coeficientes del polinomio de grado 3.

Igualamos a cero el polinomio característico. \[ \lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8=0 \]
Obtenemos las raices del polinomio característico.

r=roots(p)

Mostramos la raices en fila haciendo la transpuesta.

disp(r')

Podemos comprobar que las raices del polinomio característico son los autovalores de la matriz \(A\) ya que los hemos calculado obteniendo la matriz diagonal \(D\).

[P,D]=eig(A)

Podemos también obtener los autovectores, vectores propios o eigenvectors.

El autovector asociado a \(\lambda=4\) se obtiene así:

null(A-4*eye(3))

donde eye(3) es la matriz identidad \(I\) de orden 3x3.

El autovector asociado a \(\lambda=1\) se obtiene así:

null(A-eye(3))

El autovector asociado a \(\lambda=-2\) se obtiene así:

null(A+2*eye(3))